Matej Kozub študoval na Konzervatóriu v Bratislave ktoré ukončil s titulom "Najlepší absolvent roka na dychovom oddelení", Univerzitu hudby a divadla vo Viedni - klarinet, s prof. Alfredom Prinzom a prof. Ernstom Ottensamerom (obaja sú členmi Viedenskej filharmónie), potom nasledoval jeden rok pobytu na Sibelius Academy v Helsinkách pod vedením prof. Ilkka Teerijoki.

Matej Kozub je absolventom medzinárodných majstrovských kurzov na JAMU Brno s Milanom Etlíkom, Francúzsko-českej hudobnej akadémia v Telči s Michaelom Lethiecom, v Rakúsku: ISA Mozarteum Salzburg s Alfredom Prinzom, ISA Prag-Wien-Budapešť Rakúsko s Jiřím Hlaváčom a Alfredom Prinzom, Majstrovské semináre hudobnej univerzity vo Viedni s Howardom Klugom a Francoisom Bendom.

Taktiež je držiteľom cien z niekoľkých medzinárodných súťaží: Diplom za vynikajúci výkon v súťaži Jeunnesses Musicales v Bukurešti - Rumunsko, druhá cena na medzinárodnej súťaži súčasnej hudby Krzystofa Pendereckého v Krakove - Poľsko, prvé ceny v kategórii sólo a komorná hudba a Absolútny víťaz Súťaže študentov hudby a mladých profesionálov v Londýne - Veľká Británia, tretia cena na medzinárodnej klarinetovej súťaži "Giacomo Mensi", Breno - Taliansko. Takisto je držiteľom cien a diplomov za vynikajúcu interpretáciu súčasnej rakúskej hudoby „ Cena OESTIG“, ceny Viedenskej klasickej hudby, Cena za vynikajúcu interpretáciu diel Gottfrieda von Einem, Bohuslava Martinů, L. v. Beethovena a Alban Berga na Medzinárodnej letnej akadémii Prag-Wien-Budapešť v Rakúsku. Je tiež držiteľom prestížneho WANAS štipendia Viedenskej filharmónie.

Vystupoval ako sólista a komorný hráč v mnohých krajinách: Slovensko, Česko, Rakúsko, Maďarsko, Poľsko, Ukrajina, Taliansko, Rusko, Čile, Čína, Srbsko, Estónsko, Fínsko, Spojené kráľovstvo, Švajčiarsko, Bulharsko a Nemecko. Sólové koncerty uskutočnil s orchestrami: Ensemble sólistov Akademického symfonického orchestra Filharmónie v St. Peterburgu, Wiener-Concert-Verein, Donauphilharmonie Wien, Sinfonietta dell´Arte, Slovak Sinfonietta, Filharmónia B. Martinů Zlín, Sinfonietta Sofia, Filharmónia Vidin (Bulharsko), Eurochestries Japan Symphony Orchestra, Mládežnícky orchester I. Pleyela (Rakúsko), Orchestra of the Swan.

Spoločne s umeleckými a výkonnými činnosťami Matej Kozub organizoval medzinárodné semináre a tvorivé dielne klasickej a súčasnej hudby a hudobného vzdelávania. Matej Kozub bol riaditeľom hudobného projektu "Hudba bez hraníc v srdci Európy" v rokoch 1999-2005, kde za šesť rokov bolo študovaných a realizovaných niekoľko desiatok súčasných hudobných skladieb, ktoré napísali a hrali mladí ľudia. Účastníci tohto projektu pochádzali z 24 rôznych krajín sveta. V rokoch 2007-2013 bol riaditeľom medzinárodného festivalu "Ars Camera" na Slovensku a v rokoch 2008-2016 riaditeľom komorného symfonického orchestra Sinfonietta dell'Arte, kde je aj stálym sólistom. Matej Kozub je pravidelným členom poroty medzinárodných súťaží.